Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線與軸正半軸有公共點，求的取值范圍；

（2）求證：時，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得f（x）的導數，可得切線斜率和切點，以及切線方程，可令y＝0，求得橫坐標x，由題意可得x＞0，解不等式可得所求范圍；

（2）求得f′（x）＝﹣ex+a．設g（x）＝f′（x）＝﹣ex+a．判斷g（x）遞減，由函數零點存在定理可得g（x）存在零點x0，

求得f（x）≤f（x0），求得a，結合分析法和不等式的性質、函數的單調性，即可得證．

解：（1）函數f（x）＝lnx﹣ex+a的導數為f′（x）＝﹣ex+a．

曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為1﹣e1+a，

切點為（1，﹣e1+a），可得切線方程為y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），

可令y＝0可得x＝，由題意可得＞0，

可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；

（2）證明：f′（x）＝﹣ex+a．設g（x）＝f′（x）＝﹣ex+a．

可得g′（x）＝﹣（+ex+a），當x＞0時，g′（x）＜0，g（x）遞減；

由a＞1﹣，ex+a＞ex．若ex＞，g（x）＜﹣ex＜0，

當0＜x＜1時，ex+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，

故當0＜x＜e﹣1﹣a時，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零點x0，

當0＜x＜x0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＞x0時，f′（x）＜0，f（x）遞減，

可得f（x）≤f（x0），

又f（x0）＝lnx0﹣ex0+a，又ex0+a＝，

可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0遞增，

又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），

a＞1﹣﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），

所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0遞增，

可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．