Question

設是由個實數組成的行列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”.
（1）數表如表1所示，若經過兩“操”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）；表1

1	2	3
	1	0	1

（2）數表如表2所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數的所有可能值；表2

（3）對由個實數組成的行列的任意一個數表，能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數？請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2），；（3）詳見解析.

試題分析：（1）改變行或列；（2）分兩種情況考慮：①首先操作第三列，②首先操作第一行；（3）在有限次之后終止. 終止之時，必是所有的行之和與所有的列之和均為非負實數，否則，只要再改變該行或該列的符號，就又會繼續上升，導致矛盾.
試題解析：（1）解：法1：

法2：

法3：

（2）每一列所有數之和分別為2，0，，0，每一行所有數之和分別為，1；
①如果首先操作第三列，則有
則第一行之和為，第二行之和為，
這兩個數中，必須有一個為負數，另外一個為非負數，
所以或，
當時，則接下只能操作第一行，
此時每列之和分別為，
必有，解得，
當時，則接下操作第二行，
此時第4列之和為負，不符合題意.    
②如果首先操作第一行，則有
則每一列之和分別為，，，，
當時，每列各數之和已經非負，不需要進行第二次操作，舍掉，
當時，，至少有一個為負數，
所以此時必須有，即，所以或，
經檢驗，或符合要求，
綜上：.
（3）能經過有限次操作以后，使得得到的數表所有的行之和與所有的列之和均為非負實數. 證明如下：
記數表中第行第列的實數為（），各行的數字之和分別為，各列的數字之和分別為，，，數表中個實數之和為，則.記

.
按要求操作一次時，使該行的行之和（或該列的列之和）由負變正，都會引起（和）增大，從而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，必然小于等于最初的數表中個實數的絕對值之和，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止. 終止之時，必是所有的行之和與所有的列之和均為非負實數，否則，只要再改變該行或該列的符號，就又會繼續上升，導致矛盾，故結論成立.