【題目】已知橢圓
的四個頂點組成的四邊形的面積為
，且經過點
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若橢圓
的下頂點為
，如圖所示，點
為直線
上的一個動點，過橢圓
的右焦點
的直線
垂直于
，且與
交于
兩點，與
交于點
，四邊形
和
的面積分別為
.求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何條件得橢圓四個頂點組成的四邊形為菱形，其面積為
， 
，又
在橢圓
上，所以
，解方程組得
， 
（2）先確定面積計算方法： 
， 
，再確定計算方向：設
，根據
兩點間距離公式求
，根據兩直線交點求
點橫坐標，再根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理求弦長
，最后根據
表達式形式，確定求最值方法（基本不等式求最值）
試題解析：
（1）因為
在橢圓
上，所以
，
又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為
，所以
，
解得
，所以橢圓
的方程為
（2） 由（1）可知
，設
，
則當
時， 
，所以
，
直線
的方程為
，即
，
由
得
，
則
，
，
，
又
，所以
，
由
，得
，所以
，
所以
，
當
，直線
， 
， 
， 
， 
，
所以當
時， 
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點為極點， 
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
寫出曲線
的極坐標的方程以及曲線
的直角坐標方程；
若過點
（極坐標）且傾斜角為
的直線
與曲線
交于
， 
兩點，弦
的中點為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+b+c=16．
（1）若a=4，b=5，求cosC的值；
（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面積S=18sinC，求a和b的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
，關于實數
的不等式
的解集為
．
（1）當
時，解關于
的不等式： 
；
（2）是否存在實數
，使得關于
的函數
（
）的最小值為
？若存在，求實數
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】古代數學名著《九章算術》中的“盈不足”問題知兩鼠穿垣.今有垣厚5尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問：何日相逢？題意是：由垛厚五尺（舊制長度單位， 
尺= 
寸）的墻壁，大小兩只老鼠同時從墻的兩面，沿一直線相對打洞.大鼠第一天打進
尺，以后每天的速度為前一天的
倍；小鼠第一天也打進
尺，以后每天的進度是前一天的一半.它們多久可以相遇？
A. 
天 B. 
天 C. 
天 D. 
天
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據下面的要求，求滿足1+2+3+…+n＞500的最小的自然數n．
（1）畫出執行該問題的程序框圖；
（2）以下是解決該問題的一個程序，但有2處錯誤，請找出錯誤并予以更正．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（ 
，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+ 
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且 
＞2（其中O為原點）．求k的取值范圍．
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