Question

【題目】設函數f（x）在（-∞，+∞）上有意義，且對于任意的x，y∈R，有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函數f（x+1）的對稱中心是（-1，0），若函數g（x）-f（x）=x，則不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（ ）.

A.B.

C.,D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由已知可知f(x)為奇函數，從而可得g(-x)也為奇函數，然后結合|f(x)-f(y)|＜|x-y|，得 ，從而可得g(x)單調遞增，結合單調性及奇函數的定義可求．

由函數f(x+1)的對稱中心是(-1，0)，可得f(x)的圖象關于(0，0)對稱即f(x)為奇函數，

∴f(-x)=-f(x)，

∵g(x)-f(x)=x，

∴g(x)=f(x)+x，

∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，

∵對于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，

∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，

∴，

即||＜1，

∴0＜＜2，

由對任意實數有得g(x)單調遞增，

∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，

∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，

∴2x-x2＜2-x，

整理可得，x2-3x+2＞0，

解可得，x＞2或x＜1，

故選：A．