Question

【題目】設函數.

(Ⅰ)求函數的單調區間；

(Ⅱ)若函數有兩個極值點且，求證．

Answer 1

【答案】當時，函數在遞減，在遞增；當時，函數在單調遞增，在單調遞減．

(Ⅱ)證明見解析

【解析】試題分析：（1）由函數的定義域為， ，令，則，由根的判斷式進行分類討論，能求出函數的單調區間；（2）由，知函數有兩個極值點時， ，由此推導出，且，即，構造函數，能夠證明.

試題解析：(Ⅰ)定義域為

令，則．

①當，即時， ，此時，故函數在上單調遞增；

②當，即時， 的兩個根為

，

當，即時， ，當時，

故當時，函數在遞減，在遞增；當時，函數在單調遞增，在單調遞減．

(Ⅱ)∵,∴當函數有兩個極值點時， ，

故此時，且，即， ,

設，其中， 則，

由于時， ，故函數在上單調遞增，

故．∴．