Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數，

（I）若，函數

①求函數的單調區間

②若函數的值域為,求實數的取值范圍

（II）若存在實數,使得，且，求證：

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析②實數的取值范圍是；（2）；

【解析】試題分析：（1）①求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

②求出函數的導數，通過討論m的范圍得到函數的值域，從而確定m的具體范圍即可；

（2）求出函數f（x）的導數，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，]遞減，在[，+∞）遞增，設，則有，根據函數的單調性得到關于m的不等式組，解出即可．

試題解析：

（1）當時， .

①.

由得，由得.

所以函數的單調增區間為，單調減區間為.

②

當時， ，所以在區間上單調遞減；

當時， ，所以在區間上單調遞增.

在上單調遞減，值域為,

因為的值域為，所以，

即.

由①可知當時， ，故不成立.

因為在上單調遞減，在上單調遞增，且

所以當時， 恒成立，因此.

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數在上的值域為，即.

在上單調遞減，值域為.

因為的值域為，所以，即.

綜合1°,2°可知，實數的取值范圍是.

（2）.

若時， ，此時在上單調遞增.

由可得，與相矛盾，

同樣不能有.

不妨設，則有.

因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，

所以當時， .

由，且，可得

故.

又在單調遞減，且，所以，

所以，同理.

即解得，

所以.