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如圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于，兩點，且、、三點互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）根據題意及列方程組可得的值。即可得此橢圓方程。（2）設出的坐標及直線的方程與橢圓方程聯立消掉可得關于的方程，根據題意可知判別式應大于0，根據韋達定理可得此方程的兩根之和與兩根之積。即點橫坐標間的關系，代入直線方程，可得點縱坐標之間的關系。然后根據斜率公式可得斜率之和，將其化簡問題即可得證。
試題解析：由題意，可得，代入
得，又，      2分
解得，，，
所以橢圓的方程.        5分
(2)證明：設直線的方程為，又三點不重合，∴，設，，
由得
所以 
 ①   ②       8分
設直線，的斜率分別為，，
則
 (*)       10分
將①、②式代入(*)，
整理得，
所以，即直線的斜率之和為定值.          12分
考點：1橢圓的標準方程；2直線和圓錐曲線的位置關系問題；3定值問題。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖已知拋物線：過點，直線交于，兩點，過點且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點，．
 
(1)求的值；
(2)是否存在定點，當直線過點時，△與△的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長為，動點在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；
（3）設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，
求證：線段的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經過點，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于兩點，點是橢圓的右頂點．直線與直線分別與軸交于點，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.
（�。┊旤c為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程，
并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設為坐標原點，點、分別在橢圓和上，，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖；已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設圓T與橢圓C交于點M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點，且直線MP,NP分別與軸交于點R，S，O為坐標原點。求證：為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線過點(3，－2)，且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)求以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，點E滿足＝λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．

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