Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，平面與半圓所在的平面垂直，，， ，是半圓上不同于，的點，四邊形是矩形．

（Ⅰ）若，證明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱錐體積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）先證明平面，從而可得，過點作，垂足為，可得到，由勾股定理可得，從而可證.
（Ⅱ）過點作，垂足為，可得，由,作于，由（Ⅰ）知平面，則是三棱錐的高，當最大，即點與點重合時，三棱錐的體積最大，從而可求出答案.

（Ⅰ）∵平面與半圓所在的平面垂直，

∴平面平面，

又平面平面，，

∴平面

∵平面，

∴，

∵是半圓上一點，

∴，

又，

∴平面，

∵平面，

∴

∵四邊形是矩形，

∴，

由，，，過點作，垂足為，

則，，

，，

∴，

∴

又，

∴平面

（Ⅱ）在平面內，作于，由（Ⅰ）知平面，

則是三棱錐的高，

∴當最大，即點與點重合時，三棱錐的體積最大，此時

∵，，過點作，垂足為，

則，，

∴，

∴三棱錐體積的最大值為．