Question

【題目】定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）= ，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x0而是它的一個均值點． 例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函數”，0就是它的均值點．給出以下命題：
①函數f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函數”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，則它的均值點x0≤ ；
③若函數f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數”，則實數m∈（﹣2，0）；
④若f（x）=lnx是區間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點，則lnx0＜ ．
其中的真命題有（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①∵ =0，而f（ ）=0， ∴f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函數”，故①正確；②若f（x）=0，則 =0，顯然（a，b）上的任意1個數都是f（x）的均值點，故②錯誤；③若函數f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數”，
則區間（﹣1，1）上存在x0使得f（x0）= =m，
即x02+mx0﹣1=m，∴m= =﹣x0﹣1，
∵x0∈（﹣1，1），∴m∈（﹣2，0）．故③正確；④若f（x）=lnx是區間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點，
∴lnx0= = ，則lnx0﹣ = ﹣ ．
令 =t，則b=at2（t＞1），
∴ ﹣ = ﹣ = （ ）= （2lnt﹣t+ ），
令g（t）=2lnt﹣t+ ，則g′（t）= = = ＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上是減函數，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴ ﹣ ＜0，即lnx0＜ ，故④正確．
所以答案是：①③④．