Question

【題目】是坐標原點，橢圓：的左右焦點分別為，，點在橢圓上，若的面積最大時且最大面積為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線：與橢圓在第一象限交于點，點是第四象限內的點且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）證明見解析.

【解析】

（1）由的面積最大時且最大面積為求得且，再結合即可求出橢圓的標準方程；（2）易知，設直線：，則直線：，然后分別與聯立求出，，再利用斜率公式得出的值即可.

（1）當是橢圓的上頂點或下頂點時的面積最大，設是橢圓的上頂點，

則即，

又，∴，，，

∴橢圓的標準方程為.

（2）依題意點的坐標為，直線不與垂直，設直線：，

即，直線：，即，

設，，

由得，

∴，∴，

則.

又，，

∴，

又，∴，

∴.