Question

【題目】無窮數列、、滿足：，，，，記（表示3個實數、、中的最大數）.

（1）若，，，求數列的前項和；

（2）若，，，當時，求滿足條件的的取值范圍；

（3）證明：對于任意正整數、、，必存在正整數，使得，，.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）計算數列的前幾項,可得所求；

（2）計算第2、3項可得所求范圍；

（3）先證明若、、中至少有一個為0,則另兩個數相等,再證明若、、中都不為0,則

（1）由題可得,;

,,,;

,,,；

,,,；

可得,,,

當時,

當時,

（2）由題,,,,；

,,,

則若滿足條件,則

（3）證明：

①若、、中至少有一個為0,則另兩數相等,設,假設,可得,

則,與矛盾,即,則,,此時必存在正整數,使得,,；

②若、、中都不為0,則,設,則,,,

,此時一定嚴格遞減下去,直至存在正整數,使得

此時, 、、中有一個為0，由①可得命題成立.

則對于任意正整數、、，必存在正整數，使得，，.