Question

如圖所示，拋物線與軸所圍成的區域是一塊等待開墾的土地，現計劃在該區域內圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業用地，其中A、B在拋物線上，C、D在軸上.已知工業用地每單位面積價值為元，其它的三個邊角地塊每單位面積價值元.
（1）求等待開墾土地的面積；
（2）如何確定點C的位置，才能使得整塊土地總價值最大.

Answer 1

（1）;（2）點C的坐標為.

解析試題分析：（1）由于等待開墾土地是由曲線與x軸圍成的，求出曲線與x軸的交點坐標，再用定積分就可求出此塊土地的面積；（2）既然要確定點C的位置，使得整塊土地總價值最大,那我們只需先設出點C的坐標為(x，0)，然后含x的代數式表示出矩形地塊ABCD，進而結合（1）的結果就可表示出其它的三個邊角地塊的面積，從而就能將整塊土地總價值表示成為x的函數，再利用導數求此函數的最大值即可．
試題解析：（1）由于曲線與x軸的交點坐標為（－１，0）和(１,0),所以所求面積S=，
故等待開墾土地的面積為     3分
（2）設點C的坐標為，則點B其中，
∴                          5分
∴土地總價值    7分
由得          9分
并且當時，
故當時，y取得最大值.                  12分
答：當點C的坐標為時，整個地塊的總價值最大.     13分
考點：1.定積分;2.函數的最值.