Question

【題目】已知函數.

（1）求證：在上有極大值；

（2）求證：有且僅有兩個不同的零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求出導函數，令，求出，利用導數確定函數的單調性，從而證明在上有極大值；

（2）分三種情況討論來說明在各個區間的零點個數.當時，由（1）可證明在區間上有兩個零點；當時，因為，令，利用導數說明在區間上恒成立，從而證明在區間上恒成立，則在區間上沒有零點；當時，因為，設，同理可證得在區間上沒有零點，綜上可證明有且僅有兩個不同的零點.

（1）設，則，

當時，.所以在上單調遞減.

又因為，，

所以在上有唯一的零點，使.

所以當時，，即，所以當時，，即，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，且，

故在上有極大值；

（2）由（1）知：當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減；

所以在上存在唯一的極大值點，

所以.

又因為，

所以在上恰有一個零點，

又因為，所以在上也恰有一個零點；

當時，，，設，，

所以在上單調遞減，所以，

所以當時，恒成立，

所以在上沒有零點；

當時，，設，，

所以在上單調遞減，所以，

所以當時，恒成立，

所以在上沒有零點，

綜上，有且僅有兩個零點.