Question

【題目】某班為了提高學生學習英語的興趣，在班內舉行英語寫、說、唱綜合能力比賽，比賽分為預賽和決賽2個階段，預賽為筆試，決賽為說英語、唱英語歌曲，將所有參加筆試的同學（成績得分為整數，滿分100分）進行統計，得到頻率分布直方圖，其中后三個矩形高度之比依次為4:2:1，落在的人數為12人．

（Ⅰ）求此班級人數；

（Ⅱ）按規定預賽成績不低于90分的選手參加決賽，已知甲乙兩位選手已經取得決賽資格，參加決賽的選手按抽簽方式決定出場順序．

（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；

（ii）記甲乙二人排在前三位的人數為，求的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】（I）；（II）（i）；（ii）分布列見解析，期望為 .

【解析】試題分析：（1）借助頻率分布直方圖中的有效信息進行求解：（2）依據題設條件運用古典概型的計算公式及數學期望的求解公式進行求解：

試題解析：

解：（Ⅰ）落在區間的頻率是，

所以人數．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，

（i）設“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件，

則，

所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率為．

（ii）隨機變量的可能取值為0,1,2，

，，，

隨機變量的分布列為：

因為，

所以隨機變量的數學期望為1．