Question

【題目】已知橢圓O： （a＞b＞0）過點（ ，﹣ ），A（x0 ， y0）（x0y0≠0），其上頂點到直線 x+y+3=0的距離為2，過點A的直線l與x，y軸的交點分別為M、N，且 =2 ．
（1）證明：|MN|為定值；
（2）如圖所示，若A，C關于原點對稱，B，D關于原點對稱，且 =λ ，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：其上頂點（0，b）到直線 x+y+3=0的距離為2，∴ ，解得b=1．

又橢圓O： （a＞b＞0）過點（ ，﹣ ），∴ =1，解得a2=4．

∴橢圓的標準方程為： =1．

點A在橢圓上，∴ =1．

設經過點A的直線方程為：y﹣y0=k（x﹣x0），

可得M ，N（0，y0﹣kx0）．

∵ =2 ，∴﹣x0= ，即k=﹣ ．

∴|MN|= = =3為定值

（2）解：設∠AOD=α．∵ =λ ，∴2|OD|=3λ．

由題意可得：S四邊形ABCD= =2× |OA|sinα≤3λ|OA|

【解析】（1）其上頂點（0，b）到直線 x+y+3=0的距離為2，利用點到直線的距離公式可得 ，根據橢圓O： （a＞b＞0）過點（ ，﹣ ），解得a2 ． 可得橢圓的標準方程為： =1．設經過點A的直線方程為：y﹣y0=k（x﹣x0），可得M ，N（0，y0﹣kx0）．利用 =2 ，可得k=﹣ ．利用兩點之間的距離公式可得|MN|．（2）設∠AOD=α．由 =λ ，可得2|OD|=3λ．由題意可得：S四邊形ABCD= =2× |OA|sinα，即可得出．