Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，是等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過面面垂直，結合，即可推證線面垂直；

（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系；通過求解兩個平面的法向量即可求得二面角的余弦值.

（1）證明：在等腰梯形中，過點C作交AB于點E，

設BC長為1，則，，，，

可得，即

所以，

因為面與面交線為，

又平面，

所以平面.

（2）過點C作平面，

以點C為原點，，，所在的直線分別為x，y，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，

所以，，

設平面的法向量為，

則 ，即

取，則，，

得.

取平面的法向量為，，

所以，

由圖形知該二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.