Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，判斷函數的單調性；

（Ⅱ）當時，證明：.（為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）函數的定義域為.

.

①當時，.

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減.

②當時，.

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

③當時，.

易知恒成立，函數在上單調遞增；

④當時，.

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

綜上，當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）當時，不等式化為.

記，則.

顯然在上單調遞增，

且，.

所以在上有唯一的零點，且.

所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.

由，即，得，

所以 ，

而易知函數在上單調遞減，

所以，

所以.

所以，即.