Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f(x)，當x≥0時，f(x)＝log3(x＋1)．若關于x的不等式f[x2＋a(a＋2)]≤f(2ax＋2x)的解集為A，函數f(x)在[－8，8]上的值域為B，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[－2，0]
【解析】∵x≥0，f(x)＝log3(x＋1)為奇函數，
∴函數f(x)在R上為增函數．
∴f(x)在[－8，8]上也為增函數，且f(8)＝log3(8＋1)＝2，f(－8)＝－f(8)＝－2.
∴B＝{x|－2≤x≤2}．
∵f[x2＋a(a＋2)]≤f(2ax＋2x)，
∴x2＋a(a＋2)≤2ax＋2x，
即x2－(2a＋2)x＋a(a＋2)≤0，
解得a≤x≤a＋2，
A＝{x|a≤x≤a＋2}．
因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以 ，即
∴－2≤a≤0.
根據函數奇偶性的性質以及充分條件和必要條件的定義即可得到結論．從集合角度看概念：
如果條件p和結論q的結果分別可用集合P、Q 表示，那么
①“pq”，相當于“PQ”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足夠了--有它就行．
②“qp”，相當于“PQ”，即：為使x∈Q成立，必須要使x∈P--缺它不行．
③“pq”，相當于“P=Q”，即：互為充要的兩個條件刻畫的是同一事物．