Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．

（1）證明：平面ACP⊥平面ABC；
（2）若E為棱PB與P不重合的點，且AE⊥CE，求AE與平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ABP=∠CBP，AB=BP=BC．

∴△ABP≌△CBP．

∴AP=CP，

又△ACP是直角三角形，∴△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．

取AC的中點O，連接OP，OB．

則OP⊥AC，OB⊥AC．

不妨設AC=2．

則OP=1，OB= ，BP=AB=2．

∴OP2+OB2=BP2=4，∴∠BOP=90°．

∴OP⊥OB．又OB∩AC=O．

∴OP⊥平面ABC．OP平面ACP．

∴平面ACP⊥平面ABC．

（2）解：在△ABP中，AE⊥BP，∴AE= = ．

可得BE= = ．

在平面BPO內：過點E作EF⊥OB，垂足為點F，則EF⊥平面ABC，連接AF．

則∠EAF是AE與平面ABC所成的角．

∴ ，可得EF= = ．

∴sin∠EAF= = ．

【解析】（1）由△ABP≌△CBP．可得AP=CP，又△ACP是直角三角形，所以△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．取AC的中點O，連接OP，OB．可得OP⊥AC，OB⊥AC．即OP2+OB2=BP2可推線面垂直，面面垂直。
（2）在△ABP中，AE⊥BP，可得AE,BE。在平面BPO內：過點E作EF⊥OB，垂足為點F，則EF⊥平面ABC，連接AF．可得∠EAF是AE與平面ABC所成的角。
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．