Question

【題目】已知函數 在 上有最大值1和最小值0，設 .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 上有解，求實數 的取值范圍；
（3）若方程 ( 為自然對數的底數)有三個不同的實數解，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，當 時， 在 上是增函數，∴ ，

即 ，解得 ，

當 時， ，無最大值和最小值；

當 時， 在 上是減函數，∴ ，即 ，解得 ，

∵ ，∴ 舍去.

綜上， 的值分別為1、0

（2）解：由（1）知 ，∴ 在 上有解等價于

在 上有解，

即 在 上有解，令 ，則 ，

∵ ，∴ ，記 ，∵ ，∴ ，

∴ 的取值范圍為

（3）解：原方程可化為 ，令 ，則 ，

由題意知 有兩個不同的實數解 ， ，

其中 ， 或 ， ，

記 ，則 得

【解析】（1）根據m的取值不同討論函數g（x）的單調性，從而確定函數的最大值和最小值，列出方程組即可求解；（2）原不等式等價于+2k在[2,4]上有解，即2k+1在[2,4]上有解，令t=，構造函數（t）=t2-2t+1，并求出該函數在[,1]上的最大值，進而可求出k的取值范圍；（3）將原方程化簡，令q=，構造函數h（q）=q2-（3a+2）q+2a+1.