Question

【題目】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展開式中x的系數為11．

(1)求x2的系數取最小值時n的值；

(2)當x2的系數取得最小值時，求f(x)展開式中x的奇次冪項的系數之和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30

【解析】試題分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的的系數,列出方程得到的關系；利用二項展開式的通項公式求出的系數，將的關系代入得到關于的二次函數，配方求出最小值；（2）通過對分別賦值，兩式子相加求出展開式中的奇次冪項的系數之和.

試題解析：(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11， x2的系數為C＋22C＝＋2n(n－1)

＝＋(11－m)＝2＋.

∵m∈N*，∴m＝5時，x2的系數取得最小值22，此時n＝3.

(2)由(1)知，當x2的系數取得最小值時，m＝5，n＝3.

∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.

設這時f(x)的展開式為f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展開式中x的奇次冪項的系數之和為30.

【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題. 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.