Question

【題目】已知有窮數列， ， ， ， ，若數列中各項都是集合的元素，則稱該數列為數列．

對于數列，定義如下操作過程從中任取兩項， ，將的值添在的最后，然后刪除， ，這樣得到一個項的新數列，記作（約定：一個數也視作數列）．若還是數列，可繼續實施操作過程．得到的新數列記作， ，如此經過次操作后得到的新數列記作．

（Ⅰ）設， ， ， ，請寫出的所有可能的結果．

（Ⅱ）求證：對數列實施操作過程后得到的數列仍是數列．

（Ⅲ）設， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求的所有可能的結果，并說明理由．

Answer 1

【答案】（）見解析（）見解析（）．

【解析】試題分析：（1）中任取2項，有種取法，所以可以得到6種；（2）由，有，得證；（3）經驗證，我們可知數列滿足交換律和結合律，與具體操作過程無關，則，

易知， ， ， ．

，所以．

試題解析：

（）有如下種可知結果： ， ， ； ， ， ；

， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ．

（）證明：∵， ，有：

且，

∴．

故對數列實施操作后得到的數列仍是數列．

（）由題意可知中僅有一項，

對于滿足， 的實數， 定義運算： ，

下面證明這種運算滿足交換律和結合律．

∵，且，

∴，即該運算滿足交換律．

∵，

．

∴，即該運算滿足結合律，

∴中的項與實施的具體操作過程無關．

選擇如下操作過程求，由（）可知，

易知， ， ， ．

．

綜上可知．