Question

已知函數．

（1）設（其中是的導函數），求的最大值；

（2）求證: 當時，有；

（3）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 取得最大值；（2）；

（3）整數的最大值是.

【解析】

試題分析：（1）先求，根據導數判斷函數的單調性，再利用單調性求函數的最大值；

（2）當時，有，再根據（1）中有則，所以；

（3）將不等式先轉化為，再利用導數求的最小值，因為，結合（1）中的，則，

所以函數在上單調遞增．因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當，即，當，即，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

所以．

所以．故整數的最大值是.  

試題解析： (1）, 

所以 ．

當時，；當時，．

因此，在上單調遞增，在上單調遞減．

因此，當時，取得最大值；

（2）當時，．由（1）知：當時，，即．

因此，有．

（3）不等式化為 

所以對任意恒成立．令，

則，令，則，

所以函數在上單調遞增．因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當，即，當，即，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

所以．

所以．故整數的最大值是.  

考點：1、利用導數判斷單調性，再利用單調性求最值；2、構造函數，通過放縮法證明不等式；3、恒成立問題，可轉化為成立；4、利用導數求函數零點，解決函數的綜合問題，要求學生有較高的邏輯思維能力與數學素養.