Question

【題目】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F分別為AB，BC的中點，設異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：根據已知條件，AB，AD，AQ三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設AB=2，則：
A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；
M在線段PQ上，設M（0，y，2），0≤y≤2；
∴ ；
∴cosθ= = ；
設f（y）= ， ；
函數g（y）=﹣2y﹣5是一次函數，且為減函數，g（0）=﹣5＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上單調遞減；
∴y=0時，f（y）取到最大值 ．
故答案為： ．

首先以AB，AD，AQ三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為2，M（0，y，2），從而可求出向量 的坐標，由cosθ= 得到 ，對函數 求導，根據導數符號即可判斷該函數為減函數，從而求出cosθ的最大值．