Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）定義：“對于在區域上有定義的函數和，若滿足恒成立，則稱曲線為曲線在區域上的緊鄰曲線”.試問曲線與曲線是否存在相同的緊鄰直線，若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增;(2)見解析.

【解析】分析：（1）先求導，再對m分類討論，求出函數的單調性.(2)先把命題等價轉化為曲線與曲線是否相同的外公切線，再去求兩支曲線的外公切線令它們相等，最后轉化為唯一解問題求出m的值.

詳解：（1）.

當時，，函數在上單調遞減；

當時，令，得，函數在上單調遞減；

令，得，函數在上單調遞增.

綜上所述，當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）原命題等價于曲線與曲線是否相同的外公切線.

函數在點處的切線方程為

，即，

曲線在點處的切線方程為，即.

曲線與的圖象有且僅有一條外公切線，

所以

有唯一一對滿足這個方程組，且，

由（1）得代入（2）消去，整理得，

關于的方程有唯一解.

令，

∴.

當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

所以.

因為，；，，只需.

令，在為單減函數，

且時，，即，

所以時，關于的方程有唯一解，

此時，外公切線的方程為.

∴這兩條曲線存在相同的緊鄰直線，此時.