Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為 （t為參數，0＜α＜π），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ= （p＞0）．
（Ⅰ）寫出直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求 + 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由 得 ，∴直線l的普通方程為 ﹣ =0，即sinαx﹣cosαy=0． 把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ﹣cosαρsinθ=0．
∵ρ= ，∴p=ρ﹣ρcosθ=ρ﹣x，∴ρ=p+x，兩邊平方得ρ2=x2+2px+p2 ， ∴x2+y2=x2+2px+p2 ， 即y2﹣2px﹣p2=0．
（II）聯立方程組 ，解得 或 ．
∴|OA|2=（ ）2+（ ）2= ，|OB|2=（ ）2+（ ）2= ，
∴|OA|= ，|OB|= ．
∴ + = + = （ + ）=
【解析】（1）分別用x，y表示t，消去參數得到普通方程，再化為極坐標方程；（2）聯立方程組解出A，B坐標，代入兩點間的距離公式得出|OA|，|OB|，再進行化簡計算．