Question

【題目】已知，數列A：，，…中的項均為不大于的正整數.表示，，…中的個數（）.定義變換，將數列變成數列：，，…其中.

（1）若，對數列：，寫出的值；

（2）已知對任意的（），存在中的項，使得.求證： （）的充分必要條件為（）；

（3）若，對于數列：，，…，令：，求證：（）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據定義,表示,,…中的個數,即可由數列得的值.

（2）根據對任意的（）,存在中的項,使得,由充分必要條件的判定,分必要性與充分性兩步分別證明即可.

（3）設：,,…的所有不同取值為,且滿足：.設.根據,結合題意中的變換可得：,,,即可證明（）.

（1）∵,對數列:,

∴.

（2）證明：由于對任意的正整數（）,存在中的項,使得.所以均不為零.

必要性：（）,由于,

∴；；；…；.

通過解此方程組,可得（）成立.

充分性：若（）成立,不妨設（）,可以得到

∴；；；…；.

∴（）成立.

故（）的充分必要條件為（）

（3）證明：設：,,…的所有不同取值為,且滿足：.

不妨設,

其中；；…；.

又∵,根據變換有：；；…；；

∴：,,,

即：,,,

∴：,,,

∵,

∴,,…,.

∴,

即：,,,

從而（）.

故（）