Question

【題目】某公司航拍宣傳畫報，為了凸顯公司文化，選擇如圖所示的邊長為2百米的正三角形空地進行布置拍攝場景，在的中點處安裝中央聚光燈，為邊上得可以自由滑動的動點，其中設置為普通色彩燈帶(燈帶長度可以自由伸縮)，線段部分需要材料 (單位:百米)裝飾用以增加拍攝效果因材料價格昂貴，所以公司要求采購材料使用不造成浪費.

（1）當，與垂直時，采購部需要采購多少百米材料？

（2）為了增加拍攝動態效果需要，現要求點在邊上滑動，且，則購買材料的范圍是多少才能滿足動態效果需要又不會造成浪費.

Answer 1

【答案】（1）（百米）；

（2）（單位為百米）.

【解析】

（1）因為與垂直，所以三角形是直角三角形，利用銳角三角函數，可以求出的長，這樣可以求出的長，在中，利用正弦定理可以求出的長，這樣可以求出的長,這樣可以求出采購部需要采購材料的數量;

（2）設，根據，可以求出的取值范圍，由和三角形等邊三角形，可以證明出與相似,這樣可以得到之間的關系,這樣可以用關于的式子表示，構造函數，利用函數的單調性，求出的取值范圍.

（1）三角形等邊三角形，是的中點，因此,,因為與重直，所以三角形是直角三角形，因此有,

所以,因此，在中，由正弦定理可知：

, ，因此,所以采購部需要采購材料為（百米）；

（2）設，當與重合時,由，可求得，所以，

因為，所以,而,

所以,，因此與相似，

所以有，設，，

，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故當時，有最大值2，

，所以，購買材料的范圍是（單位為百米）.