Question

【題目】設橢圓的離心率為，圓與正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點、，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由離心率為得，再根據圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為得到點在橢圓上，解方程組即得到橢圓的標準方程.

（2）先證明當過點與圓相切的切線斜率不存在時，再證明當過點與圓相切的切線斜率存在時，即可得證.

（1）解設橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，由題知，，∴橢圓的方程為，解得，點在橢圓上，∴，解得，，∴橢圓的方程為.

（2）證明：當過點與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線的方程為，

由（1）知，，，，，

∴，即，

當過點與圓相切的切線斜率存在時，

可設切線的方程為，，，

∴，即，

聯立直線和橢圓的方程得，

即，

得，且，，

∵，，

∴，

綜上所述，圓上任意一點、、處的切線交橢圓于點，都有.