Question

【題目】已知拋物線過點(為非零常數)與軸不垂直的直線與C交于兩點.

(1)求證:(是坐標原點)；

(2)AB的垂直平分線與軸交于，求實數的取值范圍；

(3)設A關于軸的對稱點為D,求證:直線BD過定點,并求出定點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) ；(3) 過定點，且定點為.

【解析】

(1)因為，所以聯立直線和曲線方程，得到的表達式，代入計算即可證明結果. (2)首先根據第一問的計算過程求出的中點坐標，從而設出AB的垂直平分線：，令，求出的表達式，根據第一問中求出的關系，代入求解的范圍即可. (3)首先根據對稱關系設出D點的坐標，然后利用兩點式寫出直線BD的方程，根據第一問的計算過程化簡直線方程，從而求出直線所過的定點.

(1)設過點的直線的方程為，聯立曲線方程得：

所以.

(2) 設兩點的中點坐標為，則，

.則，即AB的垂直平分線為，

令，解得.又，即，所以.

所以的取值范圍為.

(3) A關于軸的對稱點為D，則，則直線BD：，整理得：.

又=.

所以直線BD為：=，所以恒過定點.得證.