Question

【題目】已知橢圓C： ， ，圓： 的圓心到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線與圓相切，且與橢圓C相交于兩點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據題意寫出直線方程，由點線距離公式得到參數值，進而得到方程；（2）先考慮直線的斜率不存在的情況，一般是聯立直線和曲線，再由弦長公式得到，根據不等式的放縮得到最值。

解析：

（Ⅰ）由已知得，直線的方程為: .

由, 得點O到直線的距離為： 解得

故橢圓C的方程為 .

（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

代入，得，此時.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

因為直線與圓相切，所以即

由，消去，整理得

所以

由得，

設點，則，

所以

，

當且僅當即時， 有最大值為.

綜上所述， 的最大值為.