Question

【題目】已知函數，

（1）求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）當時，求證：；

（3）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y=x（2）見解析（3）(-∞,e-2)

【解析】試題分析：

(1)首先求得切線的斜率為1，然后利用點斜式方程可得函數的圖象在點處的切線方程是y=x；

(2)構造新函數g(x)= f(x)+x2-x= ex-x-1，由g(x)min= g(0)=0即可證得題中的結論；

(3)分離系數，構造新函數，結合恒成立的條件可得實數的取值范圍是(-∞,e-2)

試題解析：

(1) ,所以，切點為(0,0) ∴切線為y=x

(2)證明：令g(x)= f(x)+x2-x= ex-x-1 ,g(x)= ex-1=0 ∴x=0

所以x (-∞，0)時，g(x)<0, g(x)單調遞減.x(0，+∞)時，g(x)>0, g(x)單調遞增

∴g(x)min= g(0)=0 ∴g(x) 0 ∴f(x) -x2+x

(3) f(x) kx對任意的x (0,+ ∞)恒成立等價于k<對任意的x(0,+ ∞)恒成立

令h(x)=, ∴h(x)=由(2)知x(0,+ ∞)時ex-x-1>0

∴x(0,1)時&#xF06A;&#xF0A2;h(x)<0, (xspan>)單調遞減，x(1,+ ∞)時&#xF06A;&#xF0A2;h(x)>0, h(x)單調遞增

∴h(x)min=h(1)=e-2 ∴k<e-2 ∴k的取值范圍(-∞,e-2)