Question

【題目】設函數，若過點可作三條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】f(x)=x33x2,則f′(x)=3x26x，

設切點為(x0,x303x20),則f′(x0)=3x206x0.

∴過切點處的切線方程為yx30+3x20=(3x206x0)(xx0)，

把點(2,n)代入得：nx30+3x20=(3x206x0)(2x0).

整理得：2x309x20+12x0+n=0.

若過點(2,n)可作三條直線與曲線y=f(x)相切,則方程2x309x20+12x0+n=0有三個不同根

令g(x)=2x39x2+12x，

則g′(x)=6x218x+12=6(x1)(x2)，

∴當x∈(∞,1)∪(2,+∞)時,g′(x)>0;當x∈(1,2)時,g′(x)<0，

∴g(x)的單調增區間為(∞,1),(2,+∞);單調減區間為(1,2).

∴當x=1時,g(x)有極大值為g(1)=5;當x=2時,g(x)有極小值為g(2)=4.

由4<n<5，得5<n<4.

∴實數n的取值范圍是(5,4).

故選：A.