Question

【題目】已知函數
（1）當a＜0時，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）當a=﹣4時，對任意的實數x1 ， x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍；
（3）當 ， ，y=|F（x）|在（0，1）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a＜0時，f′（x）=1﹣ ＞0，

故f（x）在（0，+∞）遞增

（2）解：若對任意的實數x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2），

則f（x）max≤g（x）min，

a=﹣4時，f（x）=x﹣ ，f′（x）=1+ ＞0，

f（x）在[1，2]遞增，

∴f（x）max=f（2）=0，

而g（x）=x2﹣2mx+2，x∈[1，2]，

對稱軸x=m，

由題意得：

或 或 ，

解得：m≤1或1＜m≤ 或m∈，

故m≤

（3）解：a=0時，顯然不成立，

a＞0時，f（x）＞0在（0， ）恒成立且在（0， ）上遞減，

∴ ，解得：a≥ ，

a＜0時，|f（x）|要在（0， ）遞減，

則 ，解得：a≤﹣ ，

綜上，a≤﹣ 或a≥

【解析】（1）求出函數的導數，通過a的符號，判斷函數的符號，求出函數的單調性即可；（2）問題轉化為f（x）max≤g（x）min ， 求出f（x）的最大值，根據二次函數的性質得到關于m的不等式組，解出即可；（3）通過討論a的范圍，得到關于a的不等式組，解出即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．