Question

已知函數,其中.
（I）若函數在區間(1,2)上不是單調函數,試求的取值范圍;
（II）已知,如果存在,使得函數在處取得最小值,試求的最大值.

Answer 1

（I）的取值范圍是；（II）的最大值為；

試題分析：（I）由題意知,在區間(1,2)上有不重復的零點,
由,得,
因為,所以  3分
令,則,故在區間(1,2)上是增函數,
所以其值域為,從而的取值范圍是       5分
（II）,
由題意知對恒成立,
即對恒成立,
即  ①對恒成立   7分
當時,①式顯然成立;                                  8分
當時,①式可化為    ②,
令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 
9分
即,其等價于   ③ ,
因為③在時有解,所以,解得.
從而的最大值為           12分
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。通過研究函數的單調區間、極值，最終確定最值情況。涉及恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，得到解題目的。