Question

【題目】已知函數，其導函數的兩個零點為和.

（I）求曲線在點處的切線方程；

（II）求函數的單調區間；

（III）求函數在區間上的最值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）增區間是， ，減區間是；（III）最大值為，最小值為.

【解析】試題分析：（I）求出，由解得，根據導數的幾何意義可得切線斜率，利用點斜式可得切線方程；（II）求出， 得增區間， 得減區間；（III）根據（II）求出函數的極值，與區間端點出的函數值進行比較即可得結果.

試題解析：（I）.

由知，解得

從而

所以，

曲線在點處的切線方程為

即.

（II）由于，當變化時， 的變化情況如下表：

		0		0
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

故的單調增區間是， ，單調減區間是.

（III）由于

故函數在區間上的最大值為，最小值為.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、導數的幾何意義，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.