Question

【題目】已知，為橢圓E：的左、右焦點，過點的直線l與橢圓E有且只有一個交點T．

（1）求面積的取值范圍．

（2）若有一束光線從點射出，射在直線l上的T點上，經過直線l反射后，試問反射光線是否恒過定點？若是，請求出該定點；若否，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定點

【解析】

（1）由題意設直線l的方程為：，將代入，得，由，解得，由韋達定理得切點T的，的面積，根據m的范圍即可求出；

（2）由對稱性和（1）得，不妨取切點，則直線l：，設關于l對稱的點為，經計算得，，直線恒過定點，即可得答案.

（1），∴直線l的斜率存在且不為0，故設直線l的方程為l：，

將代入，得，

因為直線l與橢圓E有且只有一個交點T，所以，解得，

此時求得，由，得，

，所以切點T的坐標為，又，，

所以的面積，又，，．

（2）由對稱性和（1）得，不妨取切點，則直線l：，設關于l對稱的點為，

則，，．

，，

故直線的斜率為，

所以直線的方程為，即恒過定點，

所以光線被直線l反射后恒過定點．