Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， 公差d≠0，且S3+S5=50，a1 ， a4 ， a13成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足 + +…+ =an﹣1（n∈N*），求數列{nbn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得，

解得 ，

∴an=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1

（2）解：由（1）得， ，

當n≥2時， ，

兩式相減得， ，則bn=23n（n≥2）

當n=1時滿足上式，

所以bn=23n（n∈N*），∴nbn=2n3n（n∈N*），

Tn=231+432+633+…+2n3n，

∴3Tn=232+433+634+…+2n3n+1，

兩式相減得，﹣2Tn=231+232+233+…+23n﹣2n3n+1

=2（31+32+33+…+3n）﹣2n3n+1

= ﹣2n3n+1=（1﹣2n）3n+1﹣3

∴Tn= ．

【解析】（1）由等差數列的通項公式、前n項和公式，等比中項的性質列出方程組，求出a1、d的值，代入等差數列的通項公式即可求出an；（2）由（1）化簡已知的式子，令n取n﹣1代入化簡得到另外一個式子，兩個式子相減后求出bn ， 代入nbn化簡，利用錯位相減法和等比數列前n項和公式求出Tn ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．