Question

【題目】設a,b,c為正實數,且滿足abc=1,試證明: + + ≥ .

Answer 1

【答案】解：由abc=1,得 = , = , = ,則原不等式等價于
+ + ≥ .
證法一：運用柯西不等式,有
(ab+bc+ca)2=( + + )2
≤( + + )(ca+cb+ab+ac+ab+bc),
于是, + + ≥ (ab+bc+ca)≥ ·3 = .
證法二：由基本不等式得
+ ≥2 =bc.
+ ≥ac, + ≥ab,
相加得
+ + ≥ (ab+ca+bc)≥ ·3 = .
證法三：設s= ·bc+ ·ac+ ·ab.
設a≤b≤c,則ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.
于是 ≥ ≥ ,由此推知s為順序和,由排序不等式得
s≥ ·ac+ ·ab+ ·bc= + + ,
s≥ ·ab+ ·bc+ ·ac= + + ,
相加得
2s≥ + + ≥3 =3,所以s≥ .
【解析】本題主要考查了排序不等式，解決問題的關鍵是設a≤b≤c,則ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.于是 ≥ ≥ ,由此推知s為順序和,由排序不等式分析分組相加即可證明
【考點精析】根據題目的已知條件，利用排序不等式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握排序不等式（排序原理）：設為兩組實數.是的任一排列，則（反序和亂序和順序和）當且僅當或時，反序和等于順序和．