Question

【題目】設數列 的前 n 項和為 Sn ，且(3-m)Sn+2man=m+3() ，其中 m 為常數，且 .
①求證： 是等比數列；
②若數列 的公比為q=f(m) ，數列 {bn} 滿足 b1=a1 ， ，求證： 為等差數列.

Answer 1

【答案】【解答】解：①由 (3-m)Sn+2man=m+3 ，得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3 ，
兩式相減，得(3+m)an+1=2man ( ) ，
∴ .
又m為常數，且 ，∴ 是等比數列.
②∵ (3-m)Sn+2man=m+3 ，
∴(3-m)a1+2ma1=m+3 .
∴ a1=1,b1=a=1, .
由①可得， .
∴ 當 ，且 時， .∴ .
∴ .
∴數列 是首項為1，公差為 的等差數列.
【解析】本題主要考查了分析法與綜合法，解決問題的關鍵是需要利用等比數列、等差數列的定義使用綜合法加以證明，解題的關鍵是恰當地處理遞推關系.
綜合法證明數列問題時的證明依據主要來源于以下數列的相關知識：(1)數列的概念，特別是等差數列、等比數列的定義；(2)等差數列與等比數列的基本性質以及數列前 n 項和的性質；(3)數列的通項公式 an 與數列的前 n 項和 Sn 之間的關系 (4)遞推公式與通項公式的關系.