Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）設曲線，點，為該曲線上不同的兩點.求證：當時，直線的斜率大于-1.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的減區間是，無增區間；當時，的減區間是，增區間是.（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）由，求導得，

再分和兩種情況分類討論求解.

（Ⅱ）由，得，設，要證直線的斜率大于-1.，只需證，只需證.即證在上是增函數即可.

（Ⅰ）因為，

所以，

當時，，所以在上是減函數，

當時，令得，

當時，，在上是增函數，

當時，，在上是減函數，

綜上：當時，的減區間是.

當時，的減區間是，增區間是.

（Ⅱ）因為，

所以，設，

要證直線的斜率大于-1.，

只需證，

只需證，

只需證.

即證在上是增函數，

要證在上是增函數，

只需證當時，在上恒成立，

只需證當時，在上恒成立，

令

所以當時，在上恒成立

以上各步可逆

所以直線的斜率大于-1.