Question

【題目】設函數，其中.

（1）若，求函數在區間上的取值范圍；

（2）若，且對任意的，都有，求實數的取值范圍；

（3）若對任意的，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，利用配方法可知當時有最小值，當時有最大值.（2）由（1）知函數對稱軸為，由此將分成兩類，討論函數的最大值，并使最大值小于或等于，由此求得實數的取值范圍.（3）將問題轉化為函數在區間上的最小值和最大值之差的絕對值小于等于來解決.對分成四類，討論函數的最值，并求得的取值范圍.

試題解析： ，所以在區間上單調減，在區間上單調增，且對任意的，都有，

（1）若，則.

在區間上的取值范圍為.

（2）“對任意的，都有”等價于“在區間上， ”.

時，則，

所以在區間上單調減，在區間上單調增.

當，即時，由，得，

從而.

當，即時，由，得，

從而.

綜上， 的取值范圍為區間.

（3）設函數在區間上的最大值為，最小值為，

所以“對任意的，都有”等價于“”.

①當， .

由，得.

從而.

②當， .

由，得.

從而.

③當， .

由，得.

從而.

④當， .

由，得.

從而.

綜上， 的取值范圍為區間.