Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，∠PAD＝90°，CD∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝3CD＝3PAAD＝3.

（1）求證：BD⊥PC；

（2）求點A到平面PCD的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接AC，交BD于E，推導出AC⊥BD，PA⊥AD，從而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，進而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥PC.
（2）由VA﹣PCD＝VP﹣ACD，能求出點A到平面PCD的距離.

（1）證明：連接AC，交BD于E，

由已知，在Rt△DAB中，∠DBA＝30°，在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，

∴∠CAB＝60°，∴∠AEB＝90°，∴AC⊥BD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，PA⊥AD，平面，∴PA⊥平面ABCD，

平面，∴PA⊥BD，

∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，

平面，∴BD⊥PC；

（2）解：設點到面的距離為，點到面的距離為，

∵VA﹣PCD＝VP﹣ACD，∴，

∵PA⊥平面ACD，∴hP＝PA＝1，

∴，

解得點A到平面PCD的距離hA.