Question

【題目】已知函數f（x）=（x+m）lnx，曲線y=f（x）在x=e（e為自然對數的底數）處得到切線與圓x2+y2=5在點（2，﹣1）處的切線平行．
（1）證明： ；
（2）若不等式（ax+1）（x﹣1）＜（a+1）lnx在x∈（0，1）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=（x+m）lnx，

∴f′（x）=lnx+ ，

易知圓x2+y2=5在點（2，﹣1）處的切線方程是2x﹣y=5，

由題意得f′（e）=2，即lne+ =2，解得：m=0，

∴f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，

令f′（x）=0，解得：x= ，

x∈（0， ）時，f′（x）＜0，

故f（x）在（0， ）遞減，

x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，

故f（x）在（ ，+∞）遞增，

故f（x）在x= 處取極小值，也是最小值，最小值是f（ ）=﹣ ，

又﹣ ＞﹣ ，故f（x）＞﹣

（2）解：若不等式（ax+1）（x﹣1）＜（a+1）lnx在x∈（0，1）上恒成立，

則（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1＞0在x∈（0，1）上恒成立，

設h（x）=（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1，x∈（0，+∞），

則h′（x）= ，

①a≤0時，h′（x）＜0在（0，1）恒成立，

故h（x）在（0，1）遞減，又h（1）=0，

故x∈（0，1）時，總有h（x）＞0，符合題意；

②a＞1時，令h′（x）=0，解得：x= 或x=1，

易知h（x）在（0， ）遞減，在（ ，1）遞增，又h（1）=0，

故x∈（ ，1）時，總有h（x）＜0，不符合題意；

③0＜a≤1時，h′（x）＜0在（0，1）恒成立，

故h（x）在（0，1）遞減，又h（1）=0，

故x∈（0，1）時，總有h（x）＞0，符合題意；

綜上，a的范圍是（﹣∞，1]

【解析】（1）求出函數的導數，求出m的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可；（2）問題轉化為（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1＞0在x∈（0，1）上恒成立，設h（x）=（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1，x∈（0，+∞），根據函數的單調性求出a的范圍即可．