Question

【題目】設點為坐標原點，橢圓：的右頂點為，上頂點為，過點且斜率為的直線與直線相交于點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】(1) .

（2）.

【解析】分析：（1）運用向量的坐標運算，可得M的坐標，進而得到直線OM的斜率，進而得證；

（2）由（1）知，橢圓方程設為，設PQ的方程，與橢圓聯立，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，解方程即可得到a，b的值，進而得到橢圓方程.

詳解：（1）∵，，，所以.

∴，解得，

于是，∴橢圓的離心率為.

（2）由（1）知，∴橢圓的方程為即①

依題意，圓心是線段的中點，且.

由對稱性可知，與軸不垂直，設其直線方程為，代入①得：

，

設，，則，，

由得，解得.

于是.于是

.

解得：，，∴橢圓的方程為.