Question

【題目】設橢圓的離心率為，已知但在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點，使得成立？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由題得，，結合，解得，可得橢圓的方程.

（2）聯立方程組，整理得，設，則，把坐標化,可得，代入整理得，解得，可得解.

試題解析：（1）將代入，得，

由，得，結合，解得，

故橢圓的方程為.

（2）設，聯立方程組，整理得，

設，則，

，

由于菱形的對角線垂直，故,

故，即，

即，

由已知條件知且，

所以，所以，

故存在滿足題意的點，且的取值范圍是，

當直線的斜率不存在時，不合題意.

點睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一．