Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線經過點（0,1），求實數的值；

（Ⅱ）求證：當時，函數至多有一個極值點；

（Ⅲ）是否存在實數，使得函數在定義域上的極小值大于極大值？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）當且僅當時，函數在定義域上的極小值大于極大值．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對進行求導，利用導數的幾何意義以及兩點間斜率計算公式可得，可得的值；（Ⅱ）當時，利用與的關系，判斷的單調性，易得在上單調遞增，無極值；當時，把函數至多有一個極值點轉化為至多有一個零點，令，對進行求導，討論的單調性，得其最多有一個零點，故可得證；（Ⅲ）若極小值大于極大值，由（Ⅱ）得不成立，驗證當時也不成立，研究時，在上的極小值為，無極大值，在上的極大值為，無極小值，易得，即得證.

試題解析：（Ⅰ）由，得.

所以，.

所以由得.

（Ⅱ）證明：當時，

當時，，函數在上單調遞增，無極值；

當時，令，則.

由得，則

①當，即時，，在上單調遞減，

所以在上至多有一個零點，即在上至多有一個零點.

所以函數在上至多有一個極值點.

②當，即時，及隨的變化情況如下表：

因為，

所以在上至多有一個零點，即在上至多有一個零點.

所以函數在上至多有一個極值點.

綜上，當時，函數在定義域上至多有一個極值點.

（Ⅲ）存在實數，使得函數在定義域上的極小值大于極大值. 的取值范圍是.

由（Ⅱ）可知當時，函數至多有一個極值點，不可能同時存在極大值與極小值.

當時，，無極值；

當時，及隨的變化情況如下表：

①下面研究在上的極值情況：

因為，，

所以存在實數，使得，

且時，，即，在上遞減；

時，，，在上遞增；

所以在上的極小值為，無極大值.

②下面考查在上的極值情況：

當時，；

當時，，

令，則，令，

因為在上遞減，

所以，即.

綜上，因為，

所以存在實數，，

且時，，即，在上遞減；

時，，，在上遞增；

所以在上的極大值為，無極小值.

又因為，且，

所以，

所以，當且僅當時，函數在定義域上的極小值大于極大值.