Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的極值；

（2）若對恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）有極小值為，無極大值；（2）

【解析】

試題分析：（1）時，，令，解得，∴在上單調遞減，在上單調遞增.故有極小值為，無極大值；（2）本題轉化為在恒成立，令，利用導數并分類討論，可求得.

試題解析：

（1）時，，令，解得，∴在上單調遞減，在上單調遞增. 故有極小值為，無極大值.

（2）解法一：在恒成立，

∵，即在恒成立，

不妨設，，則.

①當時，，故，∴在上單調遞增，從而，

∴不成立.

②當時，令，解得：，

若，即，

當時，，在上為增函數，故，不合題意；

若，即，

當時，，在上為減函數，故，符合題意.

綜上所述，若對恒成立，則.

解法二：由題，.

令，則

①當時，在時，，從而，∴在上單調遞增，

∴，不合題意；

②當時，令，可解得.

（Ⅰ）若，即，在時，，∴，∴在上為減函數，∴，符合題意；

（Ⅱ）若，即，當時，，∴時，

∴在上單調遞增，從而時，不合題意.

綜上所述，若對恒成立，則.