Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求證：函數的圖像關于點對稱；

（Ⅱ）當時，求的單調區間.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當時，的遞減區間是，當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是，，當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是，.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：當時，.將函數的圖象向左平移個單位 的圖象,然后證明是奇函數的圖象關于原點對稱的圖象關于點對稱；（Ⅱ）求導得，利用導數工具對、和分三種情況進行討論.

試題解析：

解：（Ⅰ）證明：當時，.

將函數的圖像向左平移個單位，得到函數的圖像.因為對任意，，且，所以函數是奇函數.所以函數的圖像關于原點對稱.

所以函數的圖像關于點對稱.

（Ⅱ）由，得

①當時，.

所以的遞減區間是.

②當時，及隨的變化情況如下表：

所以的單調遞增區間是，單調遞減區間是，.

③當時，及隨的變化情況如下表：

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，.