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【題目】如圖，已知圓，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于.

(1)求動點的軌跡的方程；

(2)已知是軌跡的三個動點，點在一象限， 與關于原點對稱，且，問的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應直線的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接，根據題意， ，則 ，可得動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即可求出動點的軌跡的方程；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立，求出的坐標，同理可得點的坐標，進而表示出的面積，利用基本不等式，即可得出結論.

試題解析：(1)∵Q在線段PF的垂直平分線上，∴|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4，

又|EF|＝2＜4，∴Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓，∴Г： ＋y2＝1.

(2)由點A在第一象限，B與A關于原點對稱，設直線AB的方程為y＝kx(k＞0)，

∵|CA|＝|CB|，∴C在AB的垂直平分線上，∴直線OC的方程為y＝－x. ，同理可得|OC|＝

當且僅當k＝1時取等號，∴S△ABC≥.

綜上，當直線AB的方程為y＝x時，△ABC的面積有最小值.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點，圓。

（1）若點在圓內，求的取值范圍；

（2）若過點的圓的切線只有一條，求切線的方程；

（3）當時，過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程。

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【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），在以直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）若直線與曲線相交于， 兩點，求的面積.

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【題目】從某市主辦的科技知識競賽的學生成績中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，已知這些成績全部在40分至100分之間，現將成績按如下方式分成6組：第一組；第二組；；第六組，并據此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

求成績在區間內的學生人數；

估計這40名學生成績的眾數和中位數．

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【題目】如圖，河的兩岸分別有生活小區和，其中，三點共線，與的延長線交于點，測得，，，，，若以所在直線分別為軸建立平面直角坐標系則河岸可看成是曲線（其中是常數）的一部分，河岸可看成是直線（其中為常數）的一部分．

（1）求的值．

（2）現準備建一座橋，其中分別在上，且，的橫坐標為．寫出橋的長關于的函數關系式，并標明定義域；當為何值時，取到最小值？最小值是多少？

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【題目】設，曲線在點處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；

(2)求實數a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）若， 是橢圓上兩個不同的動點，且使的角平分線垂直于軸，試判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的上頂點與拋物線（）的焦點重合.

（1）設橢圓和拋物線交于， 兩點，若，求橢圓的方程；

（2）設直線與拋物線和橢圓均相切，切點分別為， ，記的面積為，求證： .

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